Noções básicas de Teoria das Categorias (Parte 1 - Visão Geral)

Nas próximas postagens eu vou comentar sobre as três noções básicas da teoria das categorias: categoria, funtor e transformação natural. Nesta postagem eu apresento uma visão geral da ideia básica da teoria.

Visão Geral
 

Antes de entrarmos na definição de categoria, funtor e transformação natural será útil darmos uma visão bem geral de como a teoria das categorias funciona. A teoria parte da ideia de que propriedades de sistemas matemáticos podem ser representadas por meio de diagramas de setas, tornando possível, como veremos, unificar e simplificar essas propriedades. Um exemplo bastante simples pelo qual podemos começar é a representação da composição de funções que pode ser vista abaixo:  

o diagrama acima comuta quando $h = g \circ f$. Pela simples substituição dos conjuntos $X$, $Y$ e $Z$ pelos espaços topológicos $X$, $Y$ e $Z$, nós temos que $f$, $g$ e $h$ são mapeamentos contínuos, e se $X$, $Y$ e $Z$ são substituídos pelos grupos $X$, $Y$ e $Z$, nós temos que $f$, $g$ e $h$ são homomorfismos, o que mostra que esse mesmo diagrama pode ser aplicado em outros contextos matemáticos. O diagrama é visto, então, como uma propriedade universal dos contextos que envolvem espaços topológicos, grupos, conjuntos e as respectivas composições de mapeamentos contínuos, homomorfismos e funções.

De fato, como dito, essa propriedade universal dada pelos diagramas pode representar propriedades de diversas construções, vamos a um exemplo um pouco mais complexo. Seja $X$, $Y$ conjuntos quaisquer, o produto Cartesiano $X \times Y$ é definido como todos os pares ordenados $< x, y >$ tal que $x \in X$ e $y \in Y$. Agora, considere o seguinte: as funções $p:X \times Y \rightarrow X$ e $q:X \times Y \rightarrow Y$ são as projeções $< x, y > \mapsto x$ e $< x, y, > \mapsto y$, de modo que qualquer função $h:C \rightarrow X \times Y$ é unicamente determinada pelas composições $p \circ h$ e $q \circ h$.  

Conversamente, sejam as funções $f:C \rightarrow X$ e $g:C \rightarrow Y$, então existe uma única função $h:C \rightarrow A \times Y$ tal que o diagrama abaixo comuta: 

a saber, a função dada por $h(c) = < f(c), g(c) >$, para cada $c \in C$.

Nós podemos ver facilmente que dados $X$ e $Y$, e dado o par $< f, g >$ de funções $f$ e $g$ de um conjunto qualquer para, respectivamente, $X$ e $Y$, $< f, g >$ fatora-se unicamente por meio de $< p, q >$ (via h, isso quer dizer que $h$ é a única função tal que $p \circ h = f$ e $q \circ h = g$), o que, como veremos depois, faz de $< p, q >$ o universal entre os pares arbitrários de funções de um conjunto arbitrário $C$ para $X$ e $Y$. Essa propriedade descreve de maneira única (a menos de bijeção) o produto Cartesiano. Tal como na primeira propriedade acima (da composição de funções) podemos utilizá-la nos contextos dos espaços topológicos e dos grupos. 

Considere, agora, o conjunto de todas as funções de $C$ para $X$, o qual se denota por $hom(C, X)$, e o conjunto de todos os pares de funções $< f, g >$ de, respectivamente, $U$ e $V$ para, respectivamente, $X$ e $Y$, o qual se denota por $hom(< U, V >, < X, Y >)$. Assim, a correspondência $$h \mapsto < p \circ h, q \circ h > = < f, g >$$ indicada acima no diagrama do produto Cartesiano é uma bijeção $$hom(C, X \times Y) \cong hom(< C, C >, < X, Y >)$$ e essa bijeção é natural. Mas o que significa dizer que ela é natural? Uma maneira intuitiva (embora não muito precisa, a precisão será dada nas próximas postagens) de explicar isso seria dizer que a definição dessa bijeção é dada da "mesma maneira" para todos os conjuntos $C$ e para todos os pares de conjuntos $< X, Y >$, e é natural do mesmo modo quando interpretada para espaços topológicos ou grupos. 

Essa bijeção natural em particular envolve duas construções sobre conjuntos, a saber, a construção $C \mapsto C, C$, que leva cada conjunto para o par diagonal $\Delta(C) = < C, C >$, e a construção $< X, Y, > \mapsto X \times Y$, que leva cada par de conjuntos para o produto Cartesiano desse par de conjuntos. 

Vamos recapitular o que apresentamos até agora. Nós mostramos que a ideia básica da teoria das categorias é representar propriedades por meio de diagramas de setas a fim de tornar essas propriedades aplicáveis a outros contextos. Demos o exemplo da composição de funções e o exemplo do produto Cartesiano. O último com certeza é mais adequado para expressar uma visão intuitiva do funcionamento básico da teoria das categorias. Note que nós temos uma propriedade universal do produto Cartesiano, ou seja, uma propriedade que o descreve a menos de bijeção. Essa propriedade é descrita em termos de diagramas de setas, e assim, aplicável a outros contextos. 

Entretanto, como vimos, essa propriedade universal do produto Cartesiano é também uma bijeção entre conjuntos de certas funções, e essa bijeção é natural no sentido que nós indicamos. A partir daqui nós já podemos ligar alguns "interruptores": o sentido de "natural" pode ser melhor explicado, embora não totalmente ainda. Nós dissemos que o fato de a bijeção ser "natural" pode ser intuitivamente entendida como: a definição dessa bijeção é dada da "mesma maneira" para todos os conjuntos $C$ e para todos os pares de conjuntos $< X, Y >$. Agora, note que isso equivale a dizer que a bijeção não depende dos objetos envolvidos, isto é, a bijeção se dá entre as construções. As perguntas óbvias aqui são: (1) o que são essas construções?, e (2) Como elas se relacionam a fim de tal bijeção ser estabelecida? Para responder (1) e (2) nós necessitamos das noções de funtor e transformação natural. Mas isso é assunto para as próximas postagens.